若何求3X3矩阵的行列式

百科
2026-09-05 14:46:09
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矩阵的若何行列式经常独霸于微积分、线性代数和初级若干很多若干。矩阵求一个矩阵的列式行列式一最早大年夜大年夜约会让人思疑，但只需做过几回后，若何你就会感应感染真实不是矩阵那么难。

编制1编制1 的列式 2:求行列式

1写出3×3矩阵。
我们从3x3矩阵A最早，若何试着找出它的矩阵行列式|A|。上面是列式我们将独霸的一样往常矩阵展示法，和示例矩阵：
M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){ \displaystyle M={ \begin{ pmatrix}a_{ 11}&a_{ 12}&a_{ 13}\\a_{ 21}&a_{ 22}&a_{ 23}\\a_{ 31}&a_{ 32}&a_{ 33}\end{ pmatrix}}={ \begin{ pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{ pmatrix}}}
2选择单行或单列。
这将是矩阵援引行或列。非论你选哪一行或列，列式下场都是若何一样的。如今，矩阵只选择第一行。列式稍后，我们将给出一些关于若何选择最复杂的筹算编制的建议。
- 我们选择示例矩阵A的第一行，圈出1 5 3 。一样往常来讲，圈出₁₁a₁₂a₁₃。
- 3划损掉落踪落第一个元素的行和列。
  搜检圈出的行或列，并选择第一个元素。经由过程它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它算作一个2×2矩阵。
- 在本例中，援引行是1 5 3 。第一个元素在第1行和第1列。划损掉落踪落第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵：
- ~~1 5 3~~
  2
  4 1
  
  4
  6 2
- 4求出2x2矩阵的行列式。
  记住，这个矩阵 ${ \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}$
  5将下场乘以你选择的元素。
  记住，当你决意划往哪一行和哪一列时，是从援引行（或列）被选择了一个元素。将这个元素乘以刚才筹算出的2x2矩阵的行列式。
- 在本例中，我们选择了a₁₁，值为1 。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），掉落踪掉落踪1*-34 =
  -34
  。
- 6断定谜底的正负号。
  接上往，将谜底乘以1或-1来掉落踪掉落踪所选元素的
  代数余子式
  。你用哪个取决于元素在3x3矩阵中的职位。记住这个复杂的正负号图来找出哪个元素是正，哪个元素是负：
- + - +
  - + -
  + - +
- 因为我们选择了a₁₁，用a +标识表记标帜，将下场乘以1 。（也就是说，不必管它）。谜底仍是
  -34
  。
- 或，你可以用公式(-1)来筹算正负号，个中i和j是该元素的行数和列数。
- 7对援引行或列中的第二个元素几回这个过程。
  前去到初始的3x3矩阵，包含你之前圈出的行或列。对这个元素几回不异的过程：
- 划损掉落踪落这个元素地址的行和列。
  在本例中，选择元素a₁₂（值为5）。划损掉落踪落第一行（1 5 3）和第二列(546){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}}
  8对三个元素几回这个独霸。
  你还要找出一个余子式。筹算援引行或列中第三项的i。在本例中，上面是筹算a₁₃余子式的简明描摹：
  - 划损掉落踪落第1行和第3列，掉落踪掉落踪(2446){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}}
    9将三个下场加起来。
    这是末尾一步。你已算出来三个代数余子式，每个分袂对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来，你就掉落踪掉落踪了3x3矩阵的行列式。
    - 在本例中，行列式为
      -34
      +
      120
      +
      -12
      =
      74
      。

编制2编制2 的 2:简化问题

1选择0最多的援引行或列。
记住，你可以选择肆意行或列作为援引。非论你选哪个，下场都是一样的。假定你选择一个带有零的行或列，只需求筹算非零元素的代数余子式。启事以下：
假定你选择第2行，包含元素a₂₁、a₂₂和₂₃ 。要措置这个问题，我们要看三个不合的2x2矩阵。我们把它们叫做A₂₁ 、A₂₂和A₂₃。
3x3矩阵的行列式是a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃| 。
假定a₂₂和a₂₃都为0 ，公式就变成a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|。如今我们只需筹算一个元素的代数余子式。
2独霸行加法使矩阵更复杂。
假定你把一行的值加到此外一行，矩阵的行列式晃荡。列也是如斯。你可以几回多么独霸，或在加上前将值乘以一个常数，从而使矩阵有尽大年夜大年夜约多的0。多么可以俭仆良多时分。
比如，假定你有一个3×3的矩阵：(9−1231075−2){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{ pmatrix}}}
3进修三角矩阵的快捷编制。
在这些出格气候下，行列式就是主对角线上的元素的乘积，从左上角的a₁₁到右下角的a₃₃。我们构和的还是是3x3矩阵，可是“三角”矩阵有非零值的出格编制：
- 上三角矩阵：全数非零元素都在主对角线上或主对角线之上。上面全数是0。
- 下三角矩阵：全数非零元素都在主对角上或主对角之下。
- 对角矩阵：全数非零元素都在主对角上。（上述矩阵的一个子集）